中南民族大学 2020 年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

科目名称：数学分析

科目代码：601

适用学科（数学）专业（应用数学、运筹学与控制论）

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一、考试性质

《数学分析》考试是为中南民族大学数学与统计学学院招收数学 学科（含应用数学、运筹学与控制论两个专业）的硕士研究生而设置 的具有选拔性质的入学考试科目，其目的是科学、公平、有效地测试 考生掌握《数学分析》中基础知识、基本理论、基本方法的水平和分 析问题、解决问题的能力。评价标准设置为数学学科优秀本科毕业生 能达到及格及及格以上水平，有利于中南民族大学数学与统计学学院 择优选拔，确保硕士研究生的招生质量。

二、考查目标

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握 数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理 能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试形式和试卷结构

1.本试卷满分为（ 150）分，考试时间为（ 3 ）小时

2.考试方式为闭卷、笔试。

3.试卷考查的题型及其比例

计算题（40%）、研讨题(30%)、证明题(30%)

1四、考查内容

第一部分 极限和函数的连续性

一 、考试主要内容

映射与函数；数列的极限、函数的极限；连续函数、函数的连续 性和一致连续性；R2 中的点集、实数系的连续性；函数和连续函数 的各种性质。

二 、考试要求

1.熟练掌握数列极限与函数极限的概念；理解无穷小量的概念及 基本性质。

2.掌握极限的性质及四则运算性质，能够熟练运用两面夹原理和 两个特殊极限求极限。

3.熟练掌握实数系的基本定理：区间套定理，确界存在定理，单 调有界原理，Bolzano‐Weierstrass 定理，Heine‐Borel 有限覆盖定理， Cauchy 收敛准则；并理解相互关系。

4.熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够运用 函数连续的四则运算与复合运算性质以及相对应的；并理解两者的相 互关系。

5.熟练掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、 介值定理；了解 Contor 定理。

第二部分 一元函数微分学

一 、考试主要内容

微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义；求导运算；微分 运算；微分中值定理；洛必达法则、泰勒展式公式；导数的应用。

二 、考试要求

1.理解导数和微分的概念及其相互关系，理解导数的几何意义和 物理意义，理解函数可导性与连续性之间的关系。

2.熟练掌握函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法 则、复合函数求导法则，会求分段函数的导数。

3.熟练掌握 Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定 理以及 Taylor 展式。

4.能够用导数研究函数的单调性、极值，最值和凸凹性。

5.掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。

第三部分 一元函数积分学

一 、考试主要内容

定积分的概念、性质和微积分基本定理；不定积分和定积分的计 算；定积分的应用；广义积分的概念和广义积分收敛的判别法。

二 、考试要求

1.理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式，换元积分法 和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分。

2.掌握定积分的概念，包括 Darboux 和，上、下积分及可积条件 与可积函数类。

3.掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理，定积分的换元 积分法和分部积分法以及积分中值定理。

4.能用定积分表达和计算如下几何量与物理量：平面图形的面 积，平面曲线的弧长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的 立体体积，变力做功和物体的质量与质心。

5.理解广义积分的概念。熟练掌握判断广义积分收敛的比较判别

法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法；其中包括积分第二中值定理。

第四部分 无穷级数

一 、考试主要内容

数项级数的概念、数项级数敛散的判别法；级数的绝对收敛和条 件收敛；函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别；幂 级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

二 、考试要求

1.理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质。

2.熟练掌握正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy 判别 法，D‘Alembert 判别法与积分判别法。

3.熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关 系。熟练掌握交错级数的 Leibnitz 判别法。掌握绝对收敛级数的性质。

4.熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性 的 Weierstrass 判别法。Abel 判别法、Cauchy 判别法和 Dirichlet 判别 法。

5.掌握幂级数及其收敛半径的概念，包括 Cauchy‐Hadamard 定理 和 Abel 第一定理。

6.熟练掌握幂级数的性质，能够将函数展开为幂级数，理解余项 公示。

4第五部分 多元函数微分学与积分学

一 、考试主要内容

多元函数的极限与连续、全微分和偏导数的概念、重积分的概念 及其性质、重积分的计算；曲线积分和曲面积分；反常积分的定义和 判别。

二 、考试要求

1.理解多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，会求多 元函数的偏导数与全微分。

2.掌握隐函数存在定理。

3.会求多元函数极值和无条件极值，了解偏导数的几何应用。

4.掌握重积分、曲线积分和曲面积分的概念与计算。

5.熟练掌握 Gauss 公式、Green 公式和 Stoks 公式及其应用。

第六部分 含参变量积分

一 、考试主要内容

含参变量积分的概念、性质，计算。

二 、考试要求

1.了解含参变量常义积分的概念与性质。

2.熟练掌握变上限和变下限积分分析性质。

五、参考书目

1.华东师范大学数学系编：《数学分析》上、下册，高等教育出 版社，2010 年 7 月，第四版。

六、特殊说明

本自命题考试科目无需计算器。