科目代码

719

科目名称

分析

一、考试内容范围

基本要求:熟练掌握数学分析课程的内容,并能够熟练掌握常微分方程、复变函数、实变函数三门课程中的两门。总分为150分, 主要包括如下内容：

数学分析：

实数系基本定理，极限与连续，微分/导数及其应用,不定积分,定积分,反常积分,数项级数以及函数项级数,Taylor展式和插值多项式,无穷乘积,n 维欧氏空间,多元函数的极限与连续, 多元函数微分学,多元函数积分学(重积分,曲线曲面积分,场论),含参变量积分(特别,含Euler积分),Fourier级数,Fourier变换

常微分方程

一阶常微分方程的初等解法, 一阶常微分方程解的存在唯一性, 解对初值的连续可微性, 二阶常微分方程的边值问题, 高阶线性常微分方程和线性常微分方程组, 平面系统定性理论初步。

复变函数：

全纯函数及其基本性质，交比和分式线性变换，基本初等函数，多值函数单值支，Cauchy积分理论及其应用，幂级数和Laurent级数，零点和唯一性定理，孤立奇点，留数定理和积分计算，辐角原理及其应用，最大模原理和Schwarz引理，调和函数，均值公式和Poisson公式, 共形映射和Riemann映射定理。

实变函数:

上限集与下限集, 特征函数, 势(基数), 可列集与连续点集, 直线上开集与完全集, 环与sigma环, 单调类, 环上测度与其延拓,   Lebesgue测度与其性质, Borel集与Lebesgue可测集, 可测函数,测度空间, 几乎处处成立的性质, 依测度收敛, Lebesgue可测函数与连续函数的关系, 积分与其性质, Lebesgue积分与Riemann积分的关系, 积分极限定理, 复值可积函数, 乘积测度, 累次积分, 有界变差函数,几乎处处可微性, 全连续函数, 跳跃函数, 奇异函数, Lebesgue-Stieltjes测度与积分, 广义测度, Radon-Nikodym导数.

二、试卷结构

数学分析: 90分,必考,填空题,计算题, 证明题.

常微分方程:30分,选考,计算题,证明题。

复变函数：30分，选考，计算题，证明题。

实变函数: 30分，选考，计算题, 证明题.   

三、参考书目   

作者

书名

出版社

出版时间

版次

备注

陈纪修、   於崇华、 金路

数学分析

高等教育出版社

2004年

第二版

丁同仁、李承治

常微分方程

高等教育出版社

2005年

第二版

张锦豪、邱维元

复变函数论

高等教育出版社

2001年

夏道行、   吴卓人、 严绍宗、 舒五昌

实变函数论与泛函分析(上册)

高等教育出版社

2010年1月

第2版